Demonstrație prin inducția matematică
Notăm:
[tex]P(n) \ \ 2^{n} \geq n + 1, \ \ \forall n \in \Bbb{N^{\ast}}[/tex]
- Pasul 1: Etapa de verificare
Verificăm dacă expresia este adevărată pentru n = 1:
[tex]P(0) \ \ 2^{1} = 2 \geq 1 + 1 = 2 \to (A)[/tex]
- Pasul 2: Etapa de demonstrație
Presupunem că propoziția P(k) este adevărată pentru ∀k∈N*
[tex]P(k) \ \ 2^{k} \geq k + 1 \to (A) \\[/tex]
- Pasul 3: Demonstrăm pentru n = k + 1
Trebuie să demonstrăm că, dacă ipoteza de inducție este adevărată pentru n = k, atunci ea este și adevărată pentru n = k + 1. Vom demonstra că P(k+1) este adevărată, unde k∈N*
[tex]P(k + 1) \ \ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \geq 2 \cdot (k + 1) = k + k + 2 \geq k + 2 = (k + 1) + 1 \to \ (A)\\[/tex]
Deoarece am verificat că ipoteza este adevărată pentru n = 1 și am arătat că, dacă este adevărată pentru n = k, atunci este adevărată și pentru n = k + 1, prin urmare, conform principiului inducției matematice, expresia adevărată pentru orice n natural nenul.
[tex]\Rightarrow P(k + 1) \to adev\breve{a}rat\breve{a} \Rightarrow \boldsymbol{P(n) \ este \ adev\breve{a}rat\breve{a} \ \forall n \in \Bbb{N^{\ast}}}\\[/tex]
