Notăm cu P(n) propoziția:
[tex] \small P(n) : 1^4 +2^4 + \ldots + n^4 =\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2 +3n-1)}{30} [/tex]
1. Verificam n=1: P(1) -
[tex] P(1) : 1^4 =\frac{1(2)(3)(3+3-1)}{30} \\ P(1) : 1=\frac{6\cdot 5}{30} =\frac{30}{30} =1 \implies A[/tex]
2. Dem: presupunem ca p(k) adev și arătăm ca P(k+1) este adev
[tex] P(k) : 1^4 +2^4 +\ldots + k^4 = \\ =\frac{k(k+1)(2k+1)(3k^2 +3k-1)}{30} \ \ A [/tex]
[tex] P(k+1) : 1^4 +2^4 + \ldots + k^4 +(k+1)^4 = \\ = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3k^2 +9k+5)}{30} [/tex]
Păi p(k+1) este format din P(k) si (k+1)^4. Noi nu știm dacă p(k+1) este adevărat, dar am presupus ca P(k) este adevărat, deci dacă facem calculele folosindu-ne de p(k) (adică de o propoziție adevărată) și ne iese p(k+1) adevărat, atunci presupunerea este adevărată și p(k) este într-adevăr adevărată.
Trebuie să arătăm ca:
[tex] \frac{k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1 )}{30} +(k+1)^4 = \\ = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3k^2+9k+5 )}{30} [/tex]
Inmultim k+1 la a doua cu 30, deci practic trebuie să arătăm ca numărătorii sunt egali. Facem calculele:
[tex] \small k(k+1)(2k+1)(3k^2 +3k-1)+30(k+1)^4 = \\ \small = (k+1)((2k^2 +k)(3k^2 +3k-1)+30(k+1)^3) = \\ \small = (k+1)(6k^4 +9k^3 +k^2 -k+30k^3 +90k^2 +99k+30) = \\ \small = (k+1)(6k^4 +39k^3 +91k^2 +89k+30)= \\ \small = (k+1)(k+2)(6k^3 +27k^2 +37k+15) = \\ \small = (k+1)(k+2)(3k^2 (2k+3)+9k(2k+3)+5(2k+3)) = \\ \small = (k+1)(k+2)(2k+3)(3k^2 +9k+5) [/tex]
Ceea ce trebuia demonstrat.
[tex] \implies P(k+1) \ \ adevarat \\ \implies \tt P(n) \ \ adevarat , \ \forall n \in N^{*} [/tex]
