Din teorema împărțirii cu rest:
[tex]n = 12 \cdot c_1 + 5 \implies n - 5 = 12 \cdot c_1[/tex]
[tex]n = 18 \cdot c_2 + 5 \implies n - 5 = 18 \cdot c_2[/tex]
⇒ (n - 5) este multiplu nenul al numerelor 12 și 18. Descompunem în factori primi și determinăm cel mai mic multiplu comun:
[tex]12 = 2^2 \cdot 3; \ \ 18 = 2 \cdot 3^2 \implies [12,18] = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36[/tex]
a) Deoarece 36 este cea mai mică valoare a lui (n - 5), rezultă că ⇒ n - 5 = 36 ⇒ n = 41
b) 100 < n < 200 ⇒ 100-5 < n-5 < 200-5 ⇒ 95 < n-5 < 195
Vom căuta multiplii lui 36 care se află între 95 și 195
[tex]36 \cdot 2 = 72 < 95[/tex]
[tex]36 \cdot 3 = 108[/tex]
[tex]36 \cdot 4 = 144[/tex]
[tex]36 \cdot 5 = 180[/tex]
[tex]36 \cdot 6 = 216 > 195[/tex]
Calculăm pentru valorile obținute:
n - 5 = 108 ⇒ n = 113; n - 5 = 144 ⇒ n = 149; n - 5 = 180 ⇒ n = 185
Așadar, numerele care respectă condiția sunt 113, 149 și 185
