FORMULA RADICALILOR COMPUȘI
[tex] \small \boxed{\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+c}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{a-c}{2}} , \ unde \ c=\sqrt{a^2-b}} [/tex]
Punctul a)
[tex] a= \sqrt{30-12\sqrt{6}} +2\sqrt{4-2\sqrt{3}} -3\sqrt{3-2\sqrt{2}} [/tex]
Calculam fiecare radical in parte:
Primul radical :
[tex] a=30 , \ b=144\cdot 6 = 864 \\ c=\sqrt{a^2-b}=\sqrt{900-864} = 6 \\ \implies \sqrt{30-12\sqrt{6}} =\sqrt{\dfrac{30+6}{2} }+\sqrt{\dfrac{30-6}{2}} \\ = 3\sqrt{2} -2\sqrt{3} [/tex]
Al doilea radical:
[tex] a=4 , \ b=4 \cdot 3= 12 \\ c=\sqrt{a^2-b}=\sqrt{16-12} = 2 \\ \implies \sqrt{4-2\sqrt{3}} =\sqrt{\dfrac{4+2}{2} }+\sqrt{\dfrac{4-2}{2}} \\ =\sqrt{3} -1 [/tex]
Al treilea radical:
[tex] a=3 , \ b=4\cdot 2 = 8 \\ c=\sqrt{a^2-b}=\sqrt{9-8} = 1 \\ \implies \sqrt{3-2\sqrt{2}} =\sqrt{\dfrac{3+1}{2} }+\sqrt{\dfrac{3-1}{2}} \\ = \sqrt{2} -1 [/tex]
Acum înlocuim fiecare înapoi în expresie
[tex] a=3\sqrt{2} -2\sqrt{3} +2(\sqrt{3}-1) -3(\sqrt{2} -1) \\ a= 3\sqrt{2} -2\sqrt{3} +2\sqrt{3} -2 -3\sqrt{2} +3 \\ \tt a=1 \implies a \in \mathbb{N} [/tex]
Punctul b)
[tex]a=(\sqrt{8-2\sqrt{15}}+\sqrt{8+2\sqrt{15}})^2 [/tex]
Procedăm la fel ca la punctul a), calculând fiecare radical în parte.
Primul radical:
[tex] a=8 , \ b=4 \cdot 15= 60 \\ c=\sqrt{a^2-b}=\sqrt{64-60} = 2 \\ \implies \sqrt{8-2\sqrt{15}} =\sqrt{\dfrac{8+2}{2} }-\sqrt{\dfrac{8-2}{2}} \\ = \sqrt{5} -\sqrt{3} [/tex]
Al doilea radical:
[tex] a=8 , \ b=4\cdot 15 = 60 \\ c=\sqrt{a^2-b}=\sqrt{64-60} = 2 \\ \implies \sqrt{8+2\sqrt{15}} =\sqrt{\dfrac{8+2}{2}+\sqrt{\dfrac{8-2}{2}}} \\ = \sqrt{5} +\sqrt{3} [/tex]
Înlocuim acum în expresia:
[tex] a=(\sqrt{5} -\sqrt{3} +\sqrt{5} +\sqrt{3})^2 \\ a=(2\sqrt{5})^2 \\ a= 4 \cdot 5 \\ \tt a=20 \implies a\in \mathbb{N} [/tex]
