NU.
Diferența dintre două numere obținute cu aceleași cifre este întotdeauna divizibilă cu 9, iar 2022 nu este divizibil cu 9.
Cum demonstrăm?
(voi demonstra pe un exemplu cu 4 cifre, dar poți generaliza odată ce ai înțeles mecanismul)
- Scriem desfășurat cele două numere, pe zeci de mii, mii, sute, zeci, unități (în funcție de câte cifre avem).
[tex]\overline{abcd}-\overline{cdba}=1000a + 100b + 10c + d - 1000c - 100d - 10b - a =[/tex]
- Scăderea se scrie dând factor comun cifrele. Diferența va fi o sumă de termeni de forma x · (10ᵃ - 10ᵇ).
[tex]= a(1000-1) + b(100-10) + c(10-1000) + d(1-100)=[/tex]
- Orice diferență de puteri ale lui 10 este divizibilă cu 9.
Aceasta se poate demonstra foarte simplu dând factor comun puterea cu exponent mai mic. Ce rămâne în paranteză are ca rezultat un număr format doar din cifre de 9, divizibil așadar cu 9.
[tex]= a(1000-1) + 10b(10-1) + 10c(1-100) + d(1-100)=[/tex]
[tex]=a\cdot999+ 10b\cdot (-9) +10c\cdot(-99)+d\cdot(-99)=[/tex]
[tex]=9\cdot(111a-10b-110c-11d)[/tex]
Generalizând, se poate demonstra că diferența dintre două numere obținute cu aceleași cifre este întotdeauna divizibilă cu 9, indiferent din câte cifre sunt formate numerele.
Cum 2022 nu este divizibil cu 9, răspunsul la exercițiu este „nu, nu este posibil”.
