Punctul b)
[tex] \dfrac{1}{2^x +3} > \dfrac{1}{2^{x+2} -1} [/tex]
Aflăm prima dată domeniul de definiție
[tex]2^{x+2} -1 \not = 0 \implies 2^{x+2} \not = 2^0 \\ \implies x+2 \not = 0 \implies x \not = -2 [/tex]
Notăm [tex] y=2^x [/tex] și rezolvăm acum:
[tex] \dfrac{1}{y+3 } > \dfrac{1}{4y-1} \\ \dfrac{1}{y+3} - \dfrac{1}{4y-1} >0 \\ \dfrac{4y-1-y-3}{(4y-1)(y+3)} > 0 \\ \dfrac{3y-4}{(4y-1)(y+3)} > 0 [/tex]
Cazul 1. Când ambele sunt mai mari ca 0
[tex] 3y-4 > 0 \ \ si \ \ (4y-1)(y+3) >0 \\ y > \dfrac{4}{3} \ \ si \ \ y \in (-\infty , -3) \cup (\frac{1}{4} , \infty ) \\ y \in (\frac{4}{3} , \infty ) [/tex]
Cazul 2. Când ambele sunt mai mici ca0
[tex] 3y-4 < 0 \ \ si \ \ (4y-1)(y+3) < 0 \\ y < \dfrac{4}{3} \ \ si \ \ y \in (-3,\frac{1}{4}) \\ y \in (-3,\frac{1}{4} ) [/tex]
Reunim aceste soluții de la cazul 1 și cazul 2 și obținem:
[tex] y \in (-3,\frac{1}{4} ) \cup (\frac{4}{3} , \infty ) \\ 2^x \in (-3, \frac{1}{4}) \cup ( \frac{4}{3} , \infty ) \\ \\ 2^x > -3 \ \ si \ \ 2^x < \frac{1}{4} sau 2^x > \frac{4}{3} [/tex]
1. Rezolvăm inecuația:
[tex] 2^x > -3 \implies x \in \mathbb{R} [/tex]
2. Rezolvăm inecuatia:
[tex] 2^x < \dfrac{1}{4} \implies 2^x < 2^{-2} \\ \implies x < -2 [/tex]
3. Rezolvăm inecuatia:
[tex] 2^x > \dfrac{4}{3} \implies x > log_2 \dfrac{4}{3} [/tex]
Reunim rezolvările 1,2,3 și obținem :
[tex] \tt x \in (-\infty , -2) \cup \left( log_2 \dfrac{4}{3} , \infty \right) [/tex]
Sper sa te fi ajutat și cu un punct !
