Punctul a)
Ducem prima dată proiecția lui BC’ pe planul (A’AB) sau fie D mijlocul lui A’B’
C’D ⊥ (A’AB) și BD ⊂ (A’AB) ⇒ C’D ⊥ BD
Din triunghiul C’B’D aflăm C’D cu TP:
[tex] C \prime D ^2 = (C \prime B \prime )^2 - B \prime D ^2 \\ C \prime D^2 = 2^2 -1^2 \\ C \prime D^2 =4-1 =3 \\ C \prime D = \sqrt{3} \ cm [/tex]
Acum aflam BC’ din triunghiul BCC’ :
[tex] (BC \prime) ^2 = BC^2 + C \prime C^2 \\ (BC \prime) ^2 = 2^2 +(4\sqrt{2})^2 \\ (BC \prime )^2 =4+32 =36 \\ BC \prime = 6 \ cm [/tex]
Cum triunghiul BC’D este dreptunghic:
[tex] \sin \angle (BC \prime , (A \prime AB) ) = \sin \angle C \prime BD \\ = \dfrac{C \prime D}{BC \prime } =\tt \dfrac{\sqrt{3}}{6} [/tex]
Punctul b)
Iarăși construim proiecția lui C’M pe planul (B’BC) . Proiecția punctului M pe planul (B’BC) este intersecția dreptelor BC’ și B’C deoarece este mijlocul lui BB’ dar și a lui CC’
Notăm CB’ ∩ BC’ ={P}
Dacă ne gândim ca este un punct N, mijlocul lui BC avem ca
MP || AN, dar AN ⊥ BC și BC ⊂ (B’BC)
⇒ MP ⊥ (B,BC)
Dar PC’ ⊂ (B’BC) ⇒ MP ⊥ PC’
⇒ triunghiul MPC’ dreptunghic
Deci unghiul dintre C’M și (B’BC) este:
[tex] \angle ( C \prime M , ( B \prime BC)) = \angle M C \prime P [/tex]
Calculam MC’ in triunghiul MA’C’ :
[tex] (MC \prime )^2 = (MA \prime )^2 + (A \prime C \prime )^2 \\ = (2\sqrt{2} )^2 + 2^2 \\ = 8 +4 \\ = 12 \implies MC \prime = 2\sqrt{3} \ cm [/tex]
Iar MP este ușor de calculat
[tex] MP = h_{\Delta A \prime B \prime C \prime } = C \prime D \\ \implies MP =\sqrt{3} \ cm [/tex]
Observăm ca [tex] MP =\dfrac{MC \prime}{2} [/tex]
Din reciproca teoremei unghiului de 30
[tex] \implies \tt \angle MC \prime P =30 ^{\circ} [/tex]
Deci 30 grade este unghiul
Got it? Spor și Crăciun Fericit :)
