Ducem CE⊥AD, E∈AD. Din AB⊥AD și BC||AD ⇒ ABCE este dreptunghi ⇒ AE ≡ BC și CE ≡ AB ⇒ CE = 12 cm
Aplicăm T.Pitagora în ΔABC:
BC² = AC²-AB² = 20²-12² = 400-144 = 256 = 16²
[tex]\implies \boldsymbol {BC = 16 \ cm \implies AE = 16} \ cm \\ [/tex]
Aplicăm T.Pitagora în ΔCDE:
DE² = CD²-CE² = 15²-12² = 225-144 = 81 = 9²
[tex]\implies \boldsymbol {DE = 9 \ cm}[/tex]
[tex]AD = AE + DE = 16 + 9 \implies \boldsymbol {AD = 25 \ cm} \\ [/tex]
a) Perimetrul trapezului:
[tex]\mathcal {P}_{ABCD} = AB+BC+CD+AD = 12+16+15+25 = \bf 68 \ cm[/tex]
Aria trapezului:
[tex]\mathcal {A}_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot AB}{2} = \dfrac{(25 + 16) \cdot 12}{2} = \bf 246 \ {cm}^{2}[/tex]
b) AB∩DC = {P} ⇒ P∈AB ⇒ PB⊥BC și PA⊥AD
d(P,BC) = PB și d(P,AD) = PA
BC || AD ⇒ ∡PCB = ∡CDE = ∡PDA
⇒ ΔPCB ~ ΔCDE
[tex]\dfrac{PB}{CE} = \dfrac{BC}{DE} \iff \dfrac{PB}{12} = \dfrac{16}{9} \implies \bf PB = \dfrac{64}{3} \ cm \\ [/tex]
⇒ ΔPDA ~ ΔCDE
[tex]\dfrac{PA}{CE} = \dfrac{AD}{DE} \iff \dfrac{PA}{12} = \dfrac{25}{9} \implies \bf PA = \dfrac{100}{3} \ cm \\ [/tex]
c) AM = BM = 6 cm
[tex]PM = PB + BM = \dfrac{64}{3} + 6 = \dfrac{82}{3} \ cm \\[/tex]
Notăm MN⊥DC, N∈DC ⇒ d(M,DC) = MN
∡MPN ≡ ∡DCE ⇒ ΔMNP ~ ΔDEC
[tex]\dfrac{MN}{DE} = \dfrac{PM}{DC} \iff \dfrac{MN}{9} = \dfrac{\dfrac{82}{3}}{15} \implies \bf MN = \dfrac{82}{5} \ cm \\ [/tex]
