a)
[tex]\dfrac{ {2}^{4n + 2} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } = \dfrac{ {2}^{2(2n + 1)} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } = \dfrac{ ({2}^{2}) ^{2n + 1} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } = \dfrac{4^{2n + 1} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } \\ [/tex]
Ultima cifră:
[tex]u(4^{2n + 1} + 1) = u(4^{2n} \times 4 + 1) = u(4 + 1) = u(5) \\ [/tex]
[tex]\implies (4^{2n + 1} + 1) \in \mathcal{M}_{5}[/tex]
[tex]u(6^{n} - 1) = u(6 - 1) = u(5)[/tex]
[tex]\implies (6^{n} - 1) \in \mathcal{M}_{5}[/tex]
=> fracția este divizibilă cu 5, pentru orice număr natural nenul n
c)
[tex]\dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{2013} = \dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{3 \cdot 671} \\ [/tex]
[tex]n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \to produs \ de \ 3 \ numere \ consecutive \\ [/tex]
[tex]\implies [n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)] \in \mathcal{M}_{3}\\[/tex]
=> fracția este divizibilă cu 3, pentru orice număr natural nenul n
q.e.d.
