[tex]\boldsymbol{f(x) = x^{2} + (a + 2) \cdot x + 2a + 1}\\[/tex]
Graficul funcției f este tangent la axa Ox atunci când ecuația de gradul 2 atașată funcției admite soluție dublă (discriminantul este 0).
Consideram ecuația de gradul 2 atașată funcției f:
[tex]\boldsymbol{x^{2} + (a + 2) \cdot x + 2a + 1 = 0}\\[/tex]
Punem condiția:
[tex]\Delta = 0 \iff (a + 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2a + 1) = 0 \iff a^{2} + 4a + 4 - 8a - 4 = 0\\[/tex]
[tex]a^{2} - 4a = 0 \iff a \cdot (a - 4) = 0[/tex]
Avem două soluții reale:
[tex]a = 0 \in \Bbb{R}[/tex]
[tex]a - 4 = 0 \implies a = 4 \in \Bbb{R}\\[/tex]
q.e.d.
